题目

给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。

示例 1:

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输入: coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出: 3 
解释: 11 = 5 + 5 + 1

示例 2:

1
2

输入: coins = [2], amount = 3
输出: -1

说明:

  • 你可以认为每种硬币的数量是无限的。

题解

最开始以为是按照从大到小的顺序依次尝试就行了，但后来测试时发现这样不对，实现如下：

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int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
   sort(coins.begin(), coins.end(), greater<int>());
   int count = 0;
   for (int i = 0; i < coins.size() && amount > 0; i++) {
       while (amount >= coins[i]) {
           amount -= coins[i];
           count += 1;
       }
   }

   if (amount == 0)return count;
   else return -1;
}

后来开始仔细思考，很容易发现这其中存在子问题。假设给我们[1,2,5]这3种硬币，问我们取11元最少数量的硬币是多少？如果我们第一次取1元，那么还剩下10元，那么我们可以问取10元最少数量的硬币是多少，很明显发现这是个递归。而我们想要的结果其实是我们分别取1元、2元、5元这3种情况中的最小数量。

对应的状态方程如下，其中i代表找零钱的数量，而dp数组中的值为找i数量的零钱时，最少的硬币数量。

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dp[i] = min{ dp[i - coins[0], dp[i - coins[1], ....}

比较容易想到的是采用递归，代码实现如下：

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int interCoinChange(vector<int>& coins, int amount, map<int, int> &m) {
   if (amount == 0) {
       return 0;
   }
   else if (amount < 0) {
       return -1;
   }
   if (m.find(amount) != m.end()) return m[amount];

   int count = 0x7fffffff;
   for (int i = 0; i < coins.size(); i++) {
       int tmp = interCoinChange(coins, amount - coins[i], m);
       if (tmp < count && tmp != -1) {
           count = tmp;
       }
   }

   if (count == 0x7fffffff) {
       m[amount] = -1;
       return -1;
   }

   m[amount] = count + 1;
   return count + 1;
}

int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
   map<int, int> m;
   sort(coins.begin(), coins.end(), greater<int>());
   return interCoinChange(coins, amount, m);
}

这里的dp数组并没有采用数组，而是使用了map。但在提交代码后发现运行超时。。。一度怀疑我想的不对，后来看了解析后，发现我的实现基本上跟题解的实现相同，但我的代码运行就是超时。后来仔细对比了一下，发现主要原因在于我使用了map，如果我改为vector后，那么就没有问题了。。。。。

看来选对数据结构很重要。

递归实际上是自顶向下执行的，换句话说，是从结果往前计算的。也可从底向上进行计算，这样就是采用迭代的方式了。迭代实现代码如下：

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int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
   vector<int> dp(amount + 1, amount + 1);
   dp[0] = 0;

   for (int i = 0; i <= amount; i++) {
       for (int j = 0; j < coins.size(); j++) {
           if(coins[j] > i) continue;
           dp[i] = min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1);
       }
   }

   return dp[amount] == amount + 1 ? -1 : dp[amount];
}

其实说句实话，迭代方式最开始我不知道该怎么实现，从状态转移方程来看，是一个很明显的递归实现，但如果从头开始实现，那起始条件该怎么算？

最开始我的想法是初始化dp[coins[0]]、dp[coins[1]]、dp[coins[2]]…..，然后让他们互相加，最终看能不能凑出来要找的零钱值。但感觉这样很混乱，正确的答案应该不是这样。后来看了题解，发现竟然是直接从0开始往后遍历。果然简单粗暴。